Uitspraken van Rudolf Steiner in verband met pedagogie

Uitspraken van Rudolf Steiner in verband met pedagogie: WISKUNDE

nummer	Voor de herkomst van de uitspraken (boek, bladzijde, voordracht, stad, datum): klik hier.
128	Het hele onderwijs in de meetkunde, ja zelfs in het rekenen, moet appelleren aan de fantasie. We appelleren aan de fantasie wanneer we altijd proberen om een kind niet alleen via zijn verstand bij te brengen wat vlakken zijn, maar ook zo, dat het zijn fantasie moet gebruiken - zelfs bij meetkunde en rekenen; we hebben hierover in de praktisch-didactische besprekingen gesproken.
150	Im Menschen vom 7. bis 14. Jahre müssen entwickelt werden in der richtigen Weise Denken, Fühlen und Wollen. Geographie, Rechnen, alles muss so verwendet werden; dass in der richtigen Weise Denken, Fühlen, Wollen entwickelt werden.
151	Für ein bestimmtes Lebensalter ist zum Beispiel vor allen Dingen notwendig, etwas Rechnen beizubringen. Dazu muss man zwei, drei Monate verwenden, um an den Vormittagen Rechnen beizubringen. Nicht einen Stundenplan, der alles durcheinander enthält, sondern der Rechnen enie Zeitlang treibt - dan weitergehen.
155	Aanschouwelijk onderwijs vanaf het eerste leerjaar met als voorbeeld: ich habe Sie ja öfter darauf aufmerksam gemacht, wie man zum Beispiel dem Rechenunterricht anschaulich machen will: Rechenmaschinen stellt man in der Schule auf!
174	Het onderwijs valt immers - als we de begrippen wat strak omlijnen - in essentie uiteen in twee delen, die elkaar weliswaar voortdurend beïnvloeden: in het deel waar we de kinderen iets leren waaraan ze met hun praktische vaardigheid, met hun hele lichaam deelnemen, waar we ze dus tot een vorm van zelfwerkzaamheid brengen. We hoeven maar te denken aan euritmie, muziek of gymnastiek; ja zelfs als aan schrijven of de uiterlijke handeling tijdens het rekenen: we brengen de kinderen daarbij tot een bepaalde activiteit. Het andere deel van het onderwijs is het beschouwende deel, waarbij we de kinderen laten kijken, waarbij we ze op bepaalde dingen wijzen.
194	Het is natuurlijk nodig dat wij, terwijl we zo lesgeven, veel leren. Want je moet je veel bezighouden met zulke voorstellingen als je ze voor jezelf, maar vooral als je ze in het onderwijs wilt toepassen. Ze laten zich maar moeizaam in het geheugen prenten. Het is met deze dingen bijna net zo als het vele wiskundigen met wiskundige formules vergaat: ze kunnen geen enkele formule onthouden, maar ze kunnen ze op het moment zelf weer reproduceren.
206	Geheel zelfstandig wordt het fysieke lichaam aangesproken bij euritmie, bij muziek, bij gymnastiek en tot op zekere hoogte bij het instrumentale muziekonderwijs; maar niet meer bij het zingen. Natuurlijk is alles slechts relatief. Maar het is volstrekt tegenovergesteld: wat we in déze vakken met de kinderen doen, ook wat de kinderen leren bij het lezen en schrijven, waarbij we sterk appelleren aan de lichamelijke activiteit, staat in tegenstelling tot de vakken waarbij dat veel minder het geval is, bijvoorbeeld bij het rekenen, waarbij de lichamelijke activiteit een ondergeschikte rol speelt; terwijl bij het schrijven de lichamelijke activiteit juist een zeer grote rol speelt.
209	Bij het rekenen valt de schrijfactiviteit als zodanig niet op omdat de mens daarbij te veel in beslag genomen wordt door het denkwerk; dan treedt het schrijven min of meer op de achtergrond.
339	Alles wat meetkunde en rekenen is, wat het noodzakelijk maakt dat de mens zich getalsmatige en ruimtelijke voorstellingen maakt, dat draagt ertoe bij dat het ik op de juiste wijze in het organisme gaat zitten als het door het kind bij het onderwijs en de opvoeding opgenomen en verwerkt wordt.
365	Iets heel anders (dan lezen en schrijven) is het rekenen. U zult voelen dat de hoofdzaak van het rekenen niet ligt in de vormen van de cijfers, maar in de realiteit die leeft in deze vormen.
367	We kunnen in een weloverwogen vorm van onderwijs deze drie impulsen met elkaar verbinden: het niet-fysieke in het kunstzinnige, het half-fysieke in het rekenen en het fysieke in het lezen en schrijven. Door deze drie met elkaar te verbinden zullen we een harmonisering van de mens tot stand brengen.
371	We moeten kunst leren met het tekenen, we moeten zielenkrachten leren met het rekenen en we moeten op kunstzinnige wijze de conventie leren met het lezen en schrijven; we moeten het gehele onderwijs vervullen met een kunstzinnig element. Daarom zullen we van meet af aan grote waarde hechten aan de ontwikkeling van het kunstzinnige in het kind. Het kunstzinnige werkt namelijk bijzonder in op de wil van de mens.
379	Van het geheel naar de delen zetten we voort in het gehele onderwijs. R.St. geeft nu een voorbeeld voor rekenen. Een blad in 24 stukjes verdelen en de stukjes op verschillende stapeltjes leggen. Dan eerst tellen wat op elk stapeltje ligt. Tot slot terugkomen bij het uitgangsgetal 24. We moeten het kind dus omgekeerd leren optellen als gewoonlijk gedaan wordt: uitgaande van de som, dan komen tot de termen: de samenstellende delen.
380	De omgekeerde richting kunt u dan volgen in het verdere rekenen. U kunt bijvoorbeeld zeggen: Nu leg ik alle stukjes papier weer bij elkaar. Nu pak ik er weer wat weg, maak twee stapeltjes en ik noem het stapeltje dat ik weggelegd heb 3. Hoe kreeg ik die 3? Doordat ik ze afgehaald heb van de andere. Toen alles nog bij elkaar was noemde ik het 24. Nu heb ik er 3 afgehaald en noem dat wat over is 21. Zo komt u tot het aftrekken. U gaat weer niet uit van de termen, maar van de rest die over is.
381	(over het rekenen vanuit geheel naar de delen): we doen het zo dat we mét het inzicht - dat beslist niet verwaarloosd mag worden, maar tegenwoordig eenzijdig benadrukt wordt - tegelijk ook het autoriteitsgevoel aanspreken. Want we zeggen immers voortdurend: dàt noem ik 24, dàt noem ik 9.
482	Daarom is het goed om te bedenken hoe men zelfs ieder jaar terug kan komen op heel specifieke motieven in de opvoeding. Als u dus dingen uitzoekt die u behandelt, noteert u die dan en kom ieder jaar op iets soortgelijks terug. Zelfs bij abstractere dingen kan men dat doen. Om een voorbeeld te noemen: u leert de kinderen in de eerste klas optellen - passend bij het gemoed van het kind. In de tweede klas komt u dan weer terug op het optellen en leert de kinderen er wat bij en in de derde klas herhaalt zich dat. Dezelfde handeling speelt zich bij herhaling af - maar steeds uitgebreider.
526	Iets later moet men dan beginnen met rekenen. Een heel exact punt in de ontwikkeling is daarvoor niet aan te geven en daarom kan men het rekenen inrichten volgens andere maatstaven die ook een rol spelen. Wat daar allemaal komt bij kijken zullen we later in het leerplan opnemen.
552	schematisch overzicht van welke vakken in welke fase van de lagere school aan bod komen. Zie blz 123 Tot het negende jaar: muziek - schilderen - tekenen schrijven - lezen vreemde talen, iets later rekenen Tot het twaalfde jaar: grammatica, woordleer dierkunde plantkunde vreemde talen, geometrie natuurkundige begrippen aardrijkskunde Tot aan het eind van de lagere school: zinsleer mineralogie natuurkunde en scheikunde vreemde talen geschiedenis aardrijkskunde
577	Eigenlijk moet ieder 14-jarig kind in de rekenles de regels geleerd hebben van in ieder geval de eenvoudigste vormen van boekhouding.
610	In die tijd kunnen we er van uitgaan dat de mens een instinct heeft voor rente, voor winst, voor disconto en dat soort dingen. Dat appelleert aan de instincten maar moet al wel heel duidelijk overstemd worden door het oordeelsvermogen. Daarom moeten we de relaties tussen het rekenen enerzijds en de verspreiding van de goederen en de vermogensverhoudingen anderzijds - de berekening dus van procenten, van rente, disconto en dat soort dingen - zeker in deze tijd behandelen (tussen 12 en 15 jaar)
615	We zullen de vier rekenbewerkingen als het kan niet al te langzaam na elkaar behandelen en dan alle vier oefenen! Eerst tot 40 bijvoorbeeld. Zo zullen we niet volgens het geijkte lesrooster leren rekenen, maar zo dat door het oefenen alle vier bewerkingen bijna gelijktijdig worden aangeleerd. U zult ontdekken dat het op deze manier heel economisch gaat en dat men de kinderen de dingen ook door elkaar kan laten doen.
639	Laten we eens van de optelling uitgaan, van de optelling zoals wij die benaderen. Laten we eens aannemen dat ik bonen heb of vlierbesjes. Voor vandaag ga ik ervan uit dat de kinderen al kunnen tellen. Dat moeten ze immers ook eerst leren. Het kind telt. Het heeft er 27. "Zevenentwintig" zeg ik, "dat is de som". We gaan uit van de som, niet van de delen.
640	Ik zeg: 'Hier is een hoopje vlierbesjes. Tel eens hoeveel het er zijn!' Hij telt er bijvoorbeeld 8. 'Ja, maar nu wil ik er niet 8 hebben, ik wil er maar 3. Hoeveel moet je er wegleggen zodat ik er maar 3 krijg?' Het gaat er dan om dat er 5 weggehaald moeten worden. Dan zeg ik: 'Wat is er weggenomen?' En ik laat het kind zeggen: 'als ik 5 van 8 wegneem, dan blijven er 3 over.'
641	Ik leg weer wat vlierbesjes neer, maar zorg er wel voor dat het past. Ik moet dat immers wel voorbereiden, anders zouden we te snel bij de breuken terecht komen. Goed, dan laat ik tellen: 56 besjes. 'Kijk eens, hier heb ik 8 besjes. Nu moet jij me eens zeggen hoeveel keer die 8 besjes in de 56 zitten.' U ziet, een vermenigvuldiging leidt tot een deling. Het krijgt er 7 uit. Dan laat ik de berekening omgekeerd maken... en zeg: 'Maar nu wil ik niet weten hoe vaak de 8 in de 56 zit, maar hoe vaak de 7 in de 56 zit. Hoe vaak komt de 7 erin voor?
642	De deling ...Kijk, daar is het hoopje van 8. Ik wil nu van jou weten in welk getal zeven keer 8 zit'. En hij moet er 56 uitkrijgen, een hoopje van 56.
643	Optellen is verwant met het flegmatische en aftrekken is verwant met het melancholische, vermenigvuldigen met het sanguinische en delen, het teruggaan tot het deeltal, met het cholerische.
644	Het delen is immers verwant met het aftrekken en de vermenigvuldiging is eigenlijk alleen maar een herhaalde optelling.
677	Die kinderen die niet goed rekenen, die laat u samen een heel of een half uur langer euritmie of gymnastiek doen.
678	U laat die kinderen (die niet goed rekenen) in de eerste plaats staafoefeningen doen. De staaf in de hand: naar voren 1, 2, 3; naar achteren 1, 2, 3, 4. Het kind moet de staaf dus steeds naar voren en naar achteren houden. Het moet zich inspannen om de staaf op de een of andere manier bij 3 naar achteren te krijgen. Dan moet er ook gelopen worden: 3 stappen naar voren, 5 stappen terug; 3 stappen naar voren, 4 terug; 5 stappen naar voren, 3 terug enzovoort. U moet proberen om in de gymnastiek en misschien ook in de euritmie getallen te verbinden met de bewegingen van het kind, zodat het gedwongen is te tellen terwijl het zich beweegt. U zult zien dat dat succes heeft. Ik heb dat diverse keren gedaan bij leerlingen.
679	…Omdat aan het rekenen een wilsmatig zich-bewegen ten grondslag ligt, de bewegingszin. Als men die op deze wijze in werking zet, dan werkt dat als een aansporing op dat vermogen.
680	In het algemeen is het zo, dat men door de bewegingsoefeningen de gebrekkige vermogens in het rekenen en ook in de geometrie moet stimuleren. Op het gebied van de geometrie zal men veel kunnen doen met zinvolle euritmieoefeningen. Ook met staafoefeningen.
729	Hoe pakt u de overgang aan van het gewone rekenen met cijfers naar het rekenen met letters? … Voordat u tot letterrekenen overgaat moet u de renteberekening toch al behandeld hebben. Rente is gelijk aan kapitaal maal procent maal tijd, gedeeld door 100. Kort men de woorden af tot de beginletters, dan kan men schrijven: r=k x p x t/100. De t is afkomstig van tempus = tijd in het Latijn. Wanneer u naar deze formule toewerkt gaat u van gewone getallen uit en het kind begrijpt vrij gemakkelijk wat kapitaal is, wat procenten zijn, tijd enzovoort. Dit proces zult u de kinderen dus proberen duidelijk te maken en u verzekert zich ervan dat de meerderheid het heeft begrepen.
730	Op deze manier hebben we het kind kapitaalrekening bijgebracht en nu kunnen we overgaan naar het rekenen met letters. U kunt rustig zeggen: 'we hebben geleerd, een som 25 was gelijk aan 8 plus 7 plus 5 plus 5, dus: 25=8+7+5+5' Nietwaar, dat hebben de kinderen ooit geleerd. En nu, nadat u dat hebt uitgelegd, kunt u zeggen: 'Daar (in plaats van 25) kan ook een andere som staan, en daar (in plaats van 8, 7, 5, 5) kunnen andere getallen staan, zodat we ook kunnen zeggen: daar staat 'een of ander' getal. Er staat daar bijvoorbeeld S: een som. En daar staat a + b + c + c. ... Nadat u aan de hand van een concreet geval de overgang hebt laten zien van het getal naar de letter, kunt u nu ook het begrip van de vermenigvuldiging verder voeren en uit deze concrete 9 x 9 kunt u afleiden a x a. Of u kunt uit a x 2 afleiden a x b, enzovoort. Dat zou dus de weg zijn om te komen van het rekenen met getallen tot het rekenen met letters. En vandaar tot de oppervlakteberekening, a x a = a²
731	Opdracht voor morgen: renteberekening, geestrijk en helder uiteengezet voor kinderen van tien, elf jaar, met wat daarbij hoort, het omgekeerde: het berekenen van procent, tijd en kapitaal.
732	Dus organisch overgaan naar de letterrekening tot aan de vermenigvuldiging en van daaruit naar de oppervlakteberekening.
733	De opgave was om alle getallen van 1 tot en met 100 bij elkaar op te tellen. Gauss bedacht dat het slimmer en gemakkelijker was om dezelfde getallen nog een keer te nemen, maar ze zich in de omgekeerde volgorde voor te stellen. De eerste rij verloopt dan van links naar rechts: 1,2,3,4,5,,,100 en de rij daaronder omgekeerd: 100,99,98,97,96,,,1. Dan staat de 100 onder de 1, de 99 onder de 2, de 98 onder de 3. De som is telkens 101. Je moet de som dan honderd keer nemen, dat is 10.100 en dit moet weer gehalveerd worden - omdat je immers twee keer de getallen van 1 tot 100 hebt opgeteld - en dat geeft 5050
734	Bij het verzinnen van rekenopgaven kan men zijn fantasie gebruiken. Men kan tegenwoordigheid van geest oproepen door bewegingsopdrachten. … U zegt dan: 'Ik heb een ijlbode weggestuurd met een brief. De inhoud van de brief is echter achterhaald. Ik moet een andere bode sturen. Hoe snel moet die vooruitkomen om nog op tijd aan te komen, voordat de brief onheil heeft aangericht?' Het kind moet dat in ieder geval bij benadering kunnen berekenen, dat is heel goed.
735	Methodisch moet men zo te werk gaan dat men het kind niet alleen bezighoudt met verzonnen voorbeelden, maar dat men ook bij praktische voorbeelden uit het leven van alledag komt. Alles moet uitmonden in de praktijk.
737	Op blz. 133 geeft Steiner nog eens aan hoe men van getallen- naar letterrekenen overgaat. Het eerste voorbeeld is vrij eenvoudig (verschillende optellingen eerst met cijfers, dan met letters, waarbij dezelfde cijfers vervangen worden door dezelfde letters. Het tweede voorbeeld over de vermenigvuldiging en de deling is minder duidelijk en zeker niet geschikt om in de klas te brengen. Zie blz 133.
738	Pas nadat men begonnen is met het letterrekenen, na het elfde, twaalfde jaar, gaat men over naar het machtsverheffen en worteltrekken, omdat bij het worteltrekken het machtsverheffen van een veelterm een rol speelt. In dit verband moet men verder behandelen de berekening van bruto, netto, tarra en emballage
739	Opmerking van cursist: Machtsverheffen vóór het letterrekenen, worteltrekken erna. R.St.: Dan gaat u er toch van uit, en dat zult u in de toekomst ook moeten doen, dat u zo snel mogelijk na het elfde, twaalfde jaar begint met letterrekening en dan pas gaat machtsverheffen en worteltrekken. Want na het letterrekenen kan men op zeer eenvoudige wijze met de kinderen kwadrateren, kuberen, machtsverheffen en worteltrekken, terwijl men er tevoren verschrikkelijk veel tijd voor nodig heeft. U zult gemakkelijk en economisch te werk gaan wanneer u eerst de letterrekening hebt behandeld.
804	U weet dat de gewone methodiek voorschrijft om in de eerste klas bij voorkeur de getallen tot 100 te behandelen. Daar kan men zich ook aan houden, want het doet er niet toe hoe ver men gaat, wanneer men maar bij de eenvoudiger getallen blijft. De hoofdzaak is dat u binnen dat getallengebied de rekenbewerkingen zo hanteert dat u rekening houdt met wat ik heb gezegd. U leidt de optelling af uit de som, het aftrekken uit de rest, de vermenigvuldiging uit het product en de deling uit het quotiënt. Het omgekeerde dus van hetgeen gewoonlijk wordt gedaan. En pas nadat men heeft laten zien dat 5 gelijk is aan 3 plus 2, pas dan laat men ook het omgekeerde zien: door 2 en 3 op te tellen ontstaat 5. Men moet sterke voorstellingen in het kind oproepen, dat 5=3+2, maar ook 4+1 enzovoort.
805	De optelling volgt dus altijd pas na het opdelen van de som; en de aftrekking pas nadat men heeft gevraagd: wat moet ik van dit of dat getal aftrekken om een bepaalde rest over te houden enzovoort. Zoals gezegd: het spreekt vanzelf dat men dat in het eerste schooljaar met de meer eenvoudige getallen doet. Of men nu gaat tot 100 of 105 of 95, dat is in feite maar bijzaak.
806	Als het kind de tandwisseling achter de rug heeft, dan begint men onmiddellijk met de tafels van vermenigvuldiging, het een-maal-een, en wat mij betreft zelfs het een-plus-een; in ieder geval tot de 6 of 7. Het kind dus zo vroeg mogelijk het een-maal-een en een-plus-een simpelweg uit het hoofd laten leren, nadat men niet veel meer dan het principe heeft uitgelegd, aan de hand van de eenvoudige vermenigvuldiging, die men zo aanpakt als we hebben gezegd. Dus zodra men het kind het begrip van de vermenigvuldiging kan bijbrengen draagt men het ook op om de tafels van vermenigvuldiging uit het hoofd te leren.
807	In de tweede klas breidt men de rekenbewerkingen uit tot een groter getallengebied. Men probeert eenvoudige sommen ook te behandelen zonder ze op te schrijven, uit het hoofd, mondeling. Men probeert het rekenen met onbenoemde getallen zo mogelijk eerst te ontwikkelen aan dingen - ik heb u immers gezegd hoe u aan de hand van bonen of wat dan ook de onbenoemde getallen kunt ontwikkelen. Maar men moet toch ook het rekenen met benoemde getallen niet uit het oog verliezen.
808	In de derde klas wordt alles voortgezet met ingewikkelder getallen, en de vier rekenbewerkingen zoals die in de tweede klas behandeld werden worden nu toegepast op bepaalde eenvoudige dingen uit het praktische leven.
809	In de vierde klas gaat men door met wat er in de eerste klassen is behandeld. Maar nu moeten we overgaan tot de breuken en met name de decimale breuken.
810	in de vijfde klas gaan we door met breuken en decimale breuken. Het kind leert nu alles waardoor het in staat is vrij te rekenen met hele getallen, breuken en decimalen
811	In de zesde klas behandelt men dan het berekenen van rente, procenten, van disconto en eenvoudige wissels en legt men daarmee de basis voor het letterrekenen, zoals we hebben laten zien.
814	In de zevende klas probeert men de kinderen, na de overgang naar het letterrekenen, machtsverheffen en worteltrekken bij te brengen, ook het rekenen met wat men noemt positieve en negatieve getallen. En in de allereerste plaats probeert men de kinderen vertrouwd te maken met datgene wat de leer van de vergelijkingen genoemd kan worden, in samenhang met een vrije toepassing op het praktische leven
815	Alles wat dan komt kijken bij die vergelijkingen, dat zet men voort in de achtste klas, zo ver men kan komen, en men voegt eraan toe de berekening van figuren en oppervlakten en de leer van de geometrische plaats, die we gisteren even hebben aangestipt.
930	1e en 2e klas: spellend lezen, schrijven, tekenen, eerste beginselen van het rekenen. Zingen, muziek, euritmie, Engels en Frans. (R. Steiner op 25 april 1919 in gesprek met Emil Molt, E.A.Karl Stockmeyer en Herbert Hahn over het leerplan van de Unterrealschule (Oostenrijks schoolmodel tot 16 jaar) (Hans Rudolf Niederhäuser)
931	3e en 4e klas: Lezen, grammatica (behandeling van de verschillende taalvormen). Iets over de kleuren. Zingen, muziek en euritmie worden voortgezet. Tafels van vermenigvuldiging uit het hoofd. Optellen en aftrekken (tot 100). Behandeling van enkele planten en dieren naar keuze. (R. Steiner op 25 april 1919 in gesprek met Emil Molt, E.A.Karl Stockmeyer en Herbert Hahn over het leerplan van de Unterrealschule (Oostenrijks schoolmodel tot 16 jaar) (Hans Rudolf Niederhäuser)
934	8e klas: ambachten. Wat op planten betrekking heeft. Meteorologie, aardrijkskunde, elementen uit de geschiedenis: Indische, Perzische, Egyptisch-Chaldeeuwse en Griekse cultuur. De nachristelijke tijd. Meetkundige begrippen ontwikkelen aan de hand van het tekenen. Handelsrekenen. Boekhouden. Perspectief tekenen. Inleiding in de algebra. Astronomie tot aan het systeem van Copernicus. Later: technisch tekenen: plattegronden, kaarten. Vergelijkingen. Kegelsneden. Beschrijvende meetkunde, nivelleren (landmeten), architectuur. - Chemische-technische begrippen. Wereldbeschouwelijk onderwijs: de mens naar lichaam, ziel en geest. EHBO. (R. Steiner op 25 april 1919 in gesprek met Emil Molt, E.A.Karl Stockmeyer en Herbert Hahn over het leerplan van de Unterrealschule (Oostenrijks schoolmodel tot 16 jaar) (Hans Rudolf Niederhäuser)
935	Dat de lessen op een vrijeschool in de vorm van perioden worden gegeven, dat in de ochtend meer de vakken worden gegeven die een appel op de hoofdkrachten doen en 's middags meer de kunstzinnige vakken, dat bij de vier hoofdbewerkingen bij het rekenen van het geheel wordt uitgegaan en dat die zowel op een analytische als een synthetische manier worden geoefend, dat ook de jongens breien en naaien en de meisjes aan de technologielessen deelnemen - al deze bijzonderheden van de vrijeschoolpedagogie lijken als eenvoudige gegevenheden voor zichzelf te spreken en het zou toch niet moeilijk geweest moeten zijn om die te bedenken. Zij zijn het resultaat van jarenlang geesteswetenschappelijk onderzoek (Hans Rudolf Niederhäuser)
956	En bovendien was hij door hun hele lichaam gegaan, want hun kleine voetjes en handjes waren bij het vangen van de rozen minstens zo in beweging gekomen als hun hoofden (Rudolf Steiner oefende de tafel van 3 in de eerste klas) (Bettina Mellinger)
1195	Al vroeg bezit het kind aanleg voor de eerste beginselen van de rekenkunst. Maar juist bij de rekenkunst kan men zien hoe het kind maar al te gemakkelijk te vroeg geconfronteerd wordt met een intellectualistisch element. Rekenen als zodanig is geen mens van welke leeftijd dan ook helemaal vreemd. Het rekenen ontwikkelt zich vanuit de menselijke natuur en er kan nooit een zo groot gebrek aan verwantschap optreden tussen de menselijke mogelijkheden en de rekenhandelingen als tussen die mogelijkheden en de letters, die een culturele zaak zijn.
1196	Maar toch is het juist heel belangrijk dat het kind het rekenonderwijs op de juiste wijze krijgt aangeboden. In de grond van de zaak kan dat alleen beoordeeld worden door wie vanuit een zekere geestelijke grondslag het volledige menselijke leven kan overzien.
1197	Er zijn twee dingen die logisch gezien niets met elkaar te maken lijken te hebben: rekenonderwijs en morele beginselen. Men verbindt het rekenonderwijs gewoonlijk in het geheel niet met morele beginselen, omdat men niet direct daartussen een logische samenhang ontdekt. Maar voor wie niet slechts de logica laat gelden doch vanuit de volheid van het leven de dingen beziet, ligt de zaak anders. Een kind dat op de juiste wijze met het rekenen in aanraking is gebracht zal op latere leeftijd een heel ander moreel verantwoordelijkheidsgevoel bezitten, dan een kind dat niet op de juiste wijze met het rekenen heeft kennisgemaakt.
1198	Wanneer wij namelijk als mens de kunst verstaan hadden de menselijke ziel in de afgelopen decennia op de juiste manier in het rekenonderwijs zich te laten verdiepen dan was er nu geen bolsjewisme geweest in Oost-Europa. Dat is wat er als resultaat innerlijk te zien is: met welke kracht het vermogen dat in het rekenen innerlijk te zien is: met welke kracht het vermogen dat in het rekenen zich manifesteert zich verbindt met datgene wat ook het morele in de mens beheerst.
1199	Nu zult u mij misschien nog beter begrijpen als ik u iets van de beginselen van het rekenonderwijs voorleg. Het rekenen gaat er tegenwoordig toch vaak van uit dat wij er allereerst mee beginnen iets anders toe te voegen. Bedenkt u eens wat voor een vreemde bezigheid het is voor de menselijke ziel, dat men een erwt aan de andere toevoegt, en er dan elke keer als er iets aan is toegevoegd weer een andere naam geeft. Die overgang van één naar twee en dan weer naar drie, dat tellen is immer geen bezigheid die zich in de mens volkomen willekeurig voltrekt. Maar het is ook mogelijk om op een andere manier te tellen.
1200	Die mogelijkheid ontdekken wij als wij wat teruggaan in de menselijke cultuurgeschiedenis. Want oorspronkelijk werd er helemaal niet zo geteld dat men de ene erwt bij de andere legde. Men voegde niet een eenheid bij een andere eenheid, waardoor iets nieuws ontstond, dat, althans voor het zielenleven, weinig of niets met het voorafgaande te maken had. men zei: alles in het leven is altijd een geheel, dat men ook als geheel dient op te vatten, en zelfs het meest heterogene kan een eenheid vormen.
1201	Als ik een mensenmenigte voor mij heb, is die toch in de eerste plaats een geheel. En als ik een enkele mens voor mij heb dan is dat ook een eenheid. De eenheid is in de grond van de zaak iets zeer betrekkelijks. Daar houd ik rekening mee als ik niet tel van een, twee, drie, vier enzovoort, maar als ik op de volgende manier tel: (RSt stelt een lijn voor en noemt die 1; eenzelfde lijn in 2 verdeeld = 2; eenzelfde lijn in 3 verdeeld = 3. de lijnen zijn even lang en staan naast elkaar getekend) enzovoort, als ik een geleding aanbreng in het geheel, als ik dus van de eenheid uitga en in de eenheid als in een veelvoud de delen zoek.
1202	Dat is ook de manier waarop oorspronkelijk het tellen beschouwd werd. De eenheid was altijd het totaal, en binnen die eenheid zocht men pas de getallen. Men stelde zich de getallen niet voor als ontstaan uit één, waar één werd bijgevoegd, maar men stelde zich de getallen voor als zijnde binnen een eenheid, en uit die eenheid organisch naar voren tredend.
1203	Dat levert, toegepast op het hele rekenonderwijs het volgende op: in plaats van het kind erwt na erwt voor te leggen geeft u het een bepaalde hoeveelheid erwten tegelijk (RSt tekent dit). Die hoeveelheid erwten is het geheel. Daar gaat men vanuit. En dan behandelt u ongeveer het volgende met het kind: Ik heb hier een aantal erwten, of laten we zeggen, opdat het voor het kind (voor zijn gevoel) aanschouwelijk wordt, een aantal appelen en drie kinderen; drie kinderen misschien van verschillende leeftijd, waarvan de een meer moet eten dan de ander, en we willen dan iets doen, wat met het leven samenhangt. Wat kunnen we nu doen? Wel, we kunnen die appelen op een bepaalde manier verdelen en dan die hele verzameling appelen als som bekijken, die gelijk is aan de afzonderlijke delen, waarin we die hebben opgedeeld. We hebben daar dat stel appelen, en we zeggen: er zijn drie delen, en we brengen op die manier het kind bij dat de som gelijk is aan de drie delen. (Tekening 12 stippen in een cirkel. Die zijn verdeeld met gebogen lijnen in een groep van 3, een groep van 4 en een groep van 5 stippen).
1204	De som = drie delen. Dat wil zeggen, we gaan bij het optellen niet uit van de afzonderlijke delen, en vinden daarna de som, maar we nemen eerst de som, en gaan dan over naar de delen. Zo gaan we van het geheel uit en komen dan tot de optelling en de delen daarvan, om op die manier een levendig begrip van de optelling te krijgen. Want hetgeen waarop het bij de optelling aankomt, is altijd de som en de delen, de delen zijn hetgeen in de som altijd op een bepaalde manier aanwezig moet zijn.
1205	Op die manier is men in de gelegenheid het kind op een zodanige wijze tot het leven te voeren dat het zich eraan went, door gehelen te omvatten, niet altijd van het weinige naar het meer te gaan. En dat oefent een buitengewoon sterke invloed uit op het gehele zielenleven van het kind. Als het kind eraan gewend wordt te tellen door toe te voegen dan ontstaat nu net die morele aanleg die een hang zal doen ontstaan naar de begeerte. Als van het geheel naar de delen wordt overgegaan en als ook in een overeenkomstige vorm het vermenigvuldigen wordt aangeleerd, wordt het kind geneigd de begeerte niet zo sterk te ontwikkelen, maar ontwikkelt het datgene wat in de zin van de Platonische wereldbeschouwing genoemd kan worden de bezonnenheid, de matigheid in de meest edele zin van het woord.
1206	Hetgeen iemand moreel gezien bevalt en mishaagt hangt op de nauwste wijze samen met de manier waarop hij met de getallen heeft leren omgaan. Tussen de omgang met de getallen en de morele ideeën, morele impulsen, lijkt op het eerste gezicht geen logische samenhang te bestaan. Zo weinig is dat zelfs het geval dat wie slechts intellectualistisch denken wil, honend kan reageren wanneer men daarover spreekt. Het kan hem belachelijk voorkomen. Het is ook heel goed te begrijpen dat iemand er om lachen kan dat men bij het optellen van de som uitgaat en niet van de delen.
1207	Zo is wat er gaat werken in de kinderlijke ziel door het omgaan met de getallen van zeer groot belang voor de manier waarop het kind ons tegemoettreedt als wij het morele beelden voor de ziel willen brengen. Morele beelden, waaraan het behagen of misnoegen, antipathie of sympathie ten opzichte van het goede of het kwade moet ontwikkelen. Wij zullen een kind aantreffen dat ontvankelijk is voor het goede wanneer wij het kind op adequate wijze geleerd hebben met de getallen om te gaan.
1981	Een uitzonderingspositie in onderwijs en opvoeding hebben rekenen, rekenkunde en geometrie, dus het mathematische.
1986	Wanneer we nu het kind bijvoorbeeld iets bijbrengen van rekenen of geometrie, of uit die gebieden die ik gisteren aangehaald heb als tekenend schilderen, schilderend tekenen, als overgang naar het schrijven, dan wordt door dit onderwijs het fysieke lichaam en etherlichaam beïnvloed.
1987	En als we het ether- of vormkrachtenlichaam datgene bijbrengen wat ik gisteren hier geschetst heb, als we het iets bijbrengen van rekenen of geometrie, dan houdt het kind dat vast ook tijdens de slaap, dan vibreert het ook tijdens de slaap verder.
1994	Rekenen, geometrie spreekt tot beide; dat is het merkwaardige. En daarom is met betrekking tot het onderwijs en de opvoeding zowel rekenen als geometrie, je zou willen zeggen, net als een kameleon; ze passen zich door hun eigen wezen aan de totale mens aan.
1995	En terwijl je bij plantkunde, dierkunde er rekening mee moet houden dat die in een bepaalde gestalte, zoals ik dat gisteren heb gekarakteriseerd, in een zeer bepaalde leeftijd vallen, moet je bij rekenen en geometrie erop letten dat die gedurende de hele kindertijd heen worden beoefend, maar adequaat worden veranderd, al naar gelang de leeftijd zijn karakteristieke eigenschappen verandert.
1998	En zo is het feitelijk waar dat ons vormkrachtenlichaam van het inslapen tot het wakker worden dat wat we hem als rekenen bijgebracht hebben bovenzinnelijk doorgaat met rekenen.
1999	We zitten helemaal niet in ons fysieke en etherlichaam wanneer we slapen; maar die gaan door met rekenen, die tekenen bovenzinnelijk verder aan hun geometrische figuren, vervolmaken ze. En als we dat weten en het hele onderwijs daarop inrichten, dan krijgen we door een juist geaard onderwijs een geweldige levendigheid in het hele weven en leven van de mens. We moeten alleen op passende wijze dit ether- of vormkrachtenlichaam gelegenheid geven de dingen die we hem bijbrengen, verder te vervolmaken.
2012	U ziet daar tegelijkertijd een uitbreiding van deze hele denkwijze op het natuurwetenschappelijke. En hoewel het meestal betrekking heeft op de hogere gedeelten van de wiskunde zal het, als je in zijn geest doordringt, een uitstekende leidraad zijn om het onderwijs op dit gebied te kunnen verzorgen in een richting die in overeenstemming is met de menselijke organisatie.
2013	Met dit boekje is gewoon een soort uitgangspunt geschapen voor een hervorming van het wis- en natuurkundeonderwijs vanaf de eerste kinderleeftijd tot aan de hoogste niveaus van het onderwijs.
2014	Je moet dat wat hier met betrekking op het aanschouwelijk-ruimtelijke is gezegd, nu ook kunnen uitbreiden naar het rekenkundige. Daar gaat het met name erom dat alles wat op uiterlijke wijze het kind vertrouwd maakt met het rekenen en ook het tellen, eigenlijk de menselijke organisatie doodt.
2015	Alles wat van eenheden uitgaat, stuk aan stuk rijgt, dat doodt de menselijke organisatie. Datgene wat van het geheel uitgaat naar de delen, eerst de voorstelling van het geheel oproept, vervolgens die van de delen, dat brengt leven in de menselijke organisatie. Dat is iets wat al bij het tellen in aanmerking komt.
2016	We leren de getallen doorgaans doordat we ons vasthouden aan het geheel uiterlijke, zich in het fysiek-zintuiglijke leven afspelende leven.
2017	We leren tellen doordat we één hebben: die noemen we de eenheid. Dan voegen we daar twee, drie, vier enzovoort aan toe, we leggen erwt bij erwt en er is helemaal geen voorstelling, geen idee waarom de ene bij de andere gelegd wordt, wat daar eigenlijk uit ontstaat. Je leert tellen doordat aan de willekeur van het naast elkaar leggen wordt geappelleerd.
2018	Ik weet wel dat deze willekeur op velerlei wijze wordt gevarieerd, alleen met datgene waar het om gaat, wordt tegenwoordig nog maar in de allergeringste mate rekening gehouden: dat van een geheel uitgegaan wordt en naar de delen, onderdelen verdergegaan wordt.
2019	De eenheid is wat als eerste voorgesteld moet worden ook door het kind als een geheel. Alles wat er ook maar is, is een eenheid.
2020	Welnu, als je genoodzaakt bent om de zaak door te tekenen te laten zien, moet je een lijn uittekenen; je kunt ook een appel gebruiken om hetzelfde te doen wat ik nu met de lijn zal doen. Daar is één en nu ga je van het geheel naar de delen, en nu heb ik uit één een twee gemaakt. (tekening: 3 even lange lijnen onder elkaar. Bij de bovenste staat het cijfer 1. Bij de middelste het cijfer 2 (deze lijn is in 2 gedeeld), bij de onderste staat 3 (in 3 delen gedeeld)). De eenheid is blijven bestaan. De eenheid is in tweeën gedeeld, daardoor is de twee ontstaan.
2021	Nu ga je verder, er ontstaat door verdere deling de drie. De eenheid blijft steeds als het allesomvattende bestaan; en zo ga je verder door met vier, vijf en je kunt tegelijk met andere middelen een voorstelling oproepen hoe ver je de dingen bijeen kunt houden die op de getallen betrekking hebben. Je zult daarbij ontdekken dat de mens eigenlijk met betrekking tot het aanschouwelijke van het getal beperkt is.
2022	Bij bepaalde volkeren van de moderne civilisatie wordt eigenlijk alleen het overzichtelijke getalsbegrip tot tien omvat; hier in Engeland kan men in het geld tot twaalf rekenen. Maar dat is ook iets wat wel het hoogste vertegenwoordigt dat je kunt overzien.
2023	Dan begin je toch eigenlijk weer opnieuw, dan tel je eigenlijk de getallen; je telt eerst de dingen tot tien, maar dan begin je de tien te tellen: tweemaal tien = twintig, driemaal tien = dertig. Je refereert daar al helemaal niet meer naar de dingen, maar je gaat ertoe over het getal zelf op het rekenen toe te passen, terwijl het elementaire begrijpen de dingen zelf wel als iets aanschouwelijks wil zien.
2024	Wij tellen tot tien omdat we de delen voelen, de geleding van de handen, die erin gelegen is dat we de handen, de tien vingers als symmetrisch ervaren. Deze ervaring is daarmee overeenkomend ook er uitgehaald, is beleefd, en je moet in het kind de overgang tevoorschijn roepen van het geheel, de eenheid naar de delen als getal.
2025	Dan zul je gemakkelijk die andere overgang naar het tellen kunnen vinden doordat je het ene naast het andere legt. Je kunt vervolgens overgaan naar één, twee, drie enzovoort.
2026	Dus het zuiver additieve tellen, dat is iets wat pas in tweede instantie mag komen. Want dat is een activiteit die enkel en alleen hier in de fysieke ruimte betekenis heeft, terwijl het onderverdelen van de eenheid een zodanige innerlijke betekenis heeft dat die weer in het etherlichaam verder vibreert, ook wanneer de mens daar niet bij is. Het komt erop aan dat je deze dingen weet.
2027	Net zo gaat het erom dat, wanneer we het tellen op deze wijze overwonnen hebben, we nu niet levenloos mechanisch tot adderen, tot optellen overgaan, waar we dan het op te tellen getal, addendum aan addendum rijgen.
2028	Het levendige komt in de zaak binnen als we niet van de delen van de optelling uitgaan, maar van de som.
2029	Als we dus een aantal dingen, laten we zeggen, een aantal bolletjes neergooien - welnu, in het tellen zijn we zo ver dat we kunnen zeggen dat het veertien bolletjes zijn. Nu verdeel ik dit onder, doordat ik het begrip van het gedeelte voortzet. Ik heb hier vijf, hier vier, hier weer vijf; zodat ik het totaal uiteen gegooid heb in vijf, vier, vijf. Ik ga dus over van het totaal naar de addenda, van het geheel naar de delen.
2030	En ik probeer bij het kind zo te werk te gaan dat ik steeds het geheel, de som in zekere zin neerzet en het kind erop laat komen hoe de som zich kan delen in de afzonderlijke addenda. (tekening van 14 bolletjes, met daartussen lijnen die ze opdelen in 5-5-4).
2031	Dus is het buitengewoon belangrijk dat je, zoals je de paarden bij het rijden niet bij de staart maar bij het hoofd optuigt, zielsmatig precies zo met het rekenen te werk gaat; dat je daadwerkelijk van de som, die eigenlijk in alles steeds is gegeven, van het geheel uitgaat: dat is het reële.
2032	Veertien appels, dat is het reële - niet de addenda zijn het reële; die verdelen zich naar de levensomstandigheden op de meest uiteenlopende wijze. Je gaat dus uit van dat wat altijd het geheel is, en je gaat over naar de delen. Dan zul je de weg weer terugvinden naar het normale optellen.
2033	Maar je hebt, als je zo te werk gaat, als je van het heel levendige overgaat naar het delen, bereikt dat datgene wat ten grondslag ligt aan het rekenen, het vormkrachtenlichaam, dat nu eenmaal een levendige stimulering wil krijgen om te vormen, in vibraties omgezet, die het vervolgens vervolmakend voortzet zonder dat we dan met ons storende astrale lichaam en Ik-organisatie daarbij hoeven te zijn.
2034	Net zo wordt het onderwijs op een heel bijzondere manier beleefd wanneer je de andere rekensoorten van het hoofd, waar die tegenwoordig vaak staan, weer op de voeten zet.
2035	Als je bijvoorbeeld er naartoe werkt het kind ertoe te brengen om te zeggen: als je zeven hebt, hoeveel moet ik dan weghalen om drie te krijgen? - niet: wat krijg je als je van de zeven vier weghaalt - maar omgekeerd: als je zeven hebt - dat is het reële - en wat je wilt krijgen is weer het reële. Hoeveel moet je van zeven wegnemen opdat je drie krijgt? - Met deze vorm van denken sta je in eerste instantie in het leven, terwijl je met de andere vorm in de abstractie staat. Zodat je, als je op deze wijze te werk gaat, dan heel gemakkelijk naar het andere kunt terugkeren.
2036	Op dezelfde manier moet je bij het vermenigvuldigen, bij het delen te werk gaan, niet vragen: wat ontstaat er als je tien door twee deelt? - maar: hoe moet je tien delen opdat je vijf krijgt? - Je hebt immers het reële als gegeven en in het leven moet datgene naar voren komen wat betekenis heeft.
2037	Er zijn twee kinderen onder wie tien appels verdeeld moeten worden, ieder zal er vijf krijgen: dat zijn de realiteiten. Wat je daarvoor moet doen, dat is het abstracte dat in het midden binnenkomt. Zo zijn de dingen steeds rechtstreeks aangepast aan het leven.
2038	Lukt je dit, dan ontstaat er dat we datgene wat we tegenwoordig op additieve wijze, op zuiver uiterlijk naast elkaar schikkende wijze vaak aanpakken en waardoor wij dodend werkzaam zijn, juist in het rekenonderwijs als iets leven-gevends hebben.
2039	We gunnen 't het kind dat op een gezonde manier zijn fysieke en zijn etherlichaam verder werken. Dat kunnen we echter alleen als we echt spanning, interesse, leven binnenbrengen juist in het reken- en meetkundeonderwijs.
2051	Dan is het echter ook nodig om van het geheel uit te gaan, het geheel eerst aan te vatten en dan de delen, terwijl je je anders helemaal niet bekommert om de totale mens als je bij het tellen het ene bij het andere legt, als je bij het tellen addendum bij addendum geeft. Op de totale mens richt je je als je de eenheid bekijkt en vandaar naar de getallen overgaat, als je de som, het aftrektal bekijkt, het quotiënt, het product, en vandaar naar de delen overgaat.
2066	Dan gaat het erom dat, als je een tijdsvoorstelling op levendige wijze hebt opgeroepen, dat je ermee verder kunt gaan innerlijk het historische te beleven zoals je het rekenen, het geometrische beleeft doordat je niet een dode opvatting ontwikkelt.
2196	We kunnen deze drie gouden regels heel speciaal toepassen doordat we het onderwijs in biologie, in geschiedenis dat we zo geven als ik het in deze dagen heb aangeduid, gebruiken ter ontwikkeling van het geheugen. Het is zo dat we bij het rekenen altijd moeten beginnen met het kunstzinnig begrijpen van de dingen, zoals het deze dagen is aangegeven.
2197	Maar als we er werkelijk voor hebben gezorgd dat het eenvoudigere, laten we zeggen de getallen tot tien, of voor mijn part tot twintig, in hun gebruik bij de rekenoperaties worden doorzien, dan hoeven we er niet voor terug te schrikken het overige materiaal geheugenmatig op het kind af te laten komen.
2428	Een aantal jaren geleden werd er aan de universiteit van het Duitse Regensburg een interessant experiment uitgevoerd. Kinderen leerden jongleren met drie ballen en gingen daarna aan het rekenen. Een controlegroep deed hetzelfde, echter zonder tevoren te jongleren. Het resultaat was dat de jongleergroep aantoonbaar beter rekende. (Christof Wiechert)